Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
dengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.
Rumus kuadrat akar rumus abc
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
dan
.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
2.MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 ax² + bx + c = 0 a (x + p/a) (x + p/a) = 0
x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a
bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± D)/2a
3.PEMBAHASAN DAN CONTOH
Persamaan fungsi kuadrat : y = f (x) = ax + bx + c
Dari persamaan : y = ax + bx + c Anda ubah menjadi :
y = a ( x +
) + c
dengan melengkapkan bentuk kuadrat, coba Anda ubah menjadi :
y = a ( x +
) +
-
+ c
y = a ( x +
) +
a(
)
-
+ c
y = a ( x +
+
) -
+
y =
y =
Untuk a > 0 atau a positif :
Maka bentuk
selalu bernilai positif atau sama dengan nol
untuk semua x € R , maka nilai terkecil dari
adalah 0.
Dengan demikian,
mempunyai nilai minimum
-
, dan nilai itu dicapai jika
= 0
atau
= 0 atau x = -
Jadi titik balik minimum parabola
adalah
Untuk a < 0 atau a negatif :
Maka bentuk
selalu bernilai negatif atau sama dengan 0
untuk semua x € R , maka nilai terbesar dari
adalah 0.
Dengan demikian,
mempunyai nilai maksimum
-
, dan nilai itu dicapai jika
= 0
atau
= 0 atau x = -
Jadi titik balik maksimum parabola
adalah
Dari penjelasan di atas, dapat Anda ambil kesimpulan bahwa :
Fungsi kuadrat dengan persamaan :
y = f(x) =
mempunyai :
Sumbu simetri dengan persamaan : x = -
Titik puncak atau titik balik adalah :
Jenis Titik Balik :
Apabila a > 0, maka titik balik minimum
Apabila a < 0, maka titik balik maksimum
Apabila p = -
dan q = -
, maka persamaan fungsi kuadrat
y = f(x) = a ( x +
) dan q = -
, dapat dinyatakan sebagai :
y = f(x) = a ( x - p ) + q
sehingga fungsi kuadrat ini mempunyai :
Sumbu simetri dengan persamaan : x = p
Titik puncak atau titik balik adalah : ( p,q )
Jenis Titik Balik :
Apabila a > 0, maka titik balik minimum
Apabila a < 0, maka titik balik maksimum
CONTOH SOAL
Contoh 1 :
Diketahui fungsi kuadrat f (x) = x - 2x + 5.
Coba Anda tentukan sumbu simetri dan titik balik grafik fungsi kuadrat tersebut!
Jawab :
Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan :
y = x - 2x + 5
Anda ubah menjadi :
y = x - 2x + 1 + 4
y = ( x - 2x + 1 ) + 4
y = ( x - 1 ) + 4
Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q
Maka bentuk y = ( x - 1 ) + 4 , kita ubah menjadi :
y = 1.( x - 1 ) + 4
Ini berarti diperoleh : a = 1 , p = 1 , dan q = 4
Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p
x = 1
titik baliknya adalah ( p,q ) = ( 1,4 )
Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum.
Bagaimana, tidak sulit bukan?
Baiklah, untuk lebih jelasnya marilah kita pelajari contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2 :
Diketahui parabola dengan persamaan y = -x - 4x + 5.
Tentukan sumbu simetri dan titik balik parabola tersebut!
Jawab :
Persamaan y = -x - 4x + 5, diubah menjadi :
y = -( x + 4x ) + 5
y = -( x + 4x + 4 ) + 4 + 5
y = -( x + 2 ) + 9
y = -1( x - (-2) ) + 9
Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q
Berarti : a = -1 , p = -2 , dan q = 9
Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p
x = -2
titik baliknya adalah ( p,q ) = ( -2,9 )
Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum.
Mudah bukan? Apakah Anda sudah paham?
Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 3 di bawah ini.
4.LATIHAN
1. EBTANAS 1990
Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah
(A) (-2, 3) (D) (1, -4)
(B) (-1, 4) (E) (1, 4)
(C) (-1, 6)
2. EBTANAS 1991
Persamaan sumbu simetri dari y = 8 – 2x – x2 adalah
(A) x = 4 (D) x = – 1
(B) x = 2 (E) x = – 2
(C) x = 1
4. EBTANAS 1995
Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat y = (x – 1) (x – 3) adalah
(A) (2, -1) (D) (-2, 1)
(B) (-1, -3) (E) (1, 3)
(C) (-2, -1)
5. EBTANAS 1995
Grafik fungsi di bawah ini adalah
(A) y = – 2×2 + 4x + 1
(B) y = 2×2 – 4x + 5
(C) y = -2×2 – 4x + 1
(D) y = -2×2 + 4x – 5
(E) y = -2×2 – 4x – 5
7. EBTANAS 1997
Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4) dan melalui titik (2, -3) mempunyai persamaan
(A) y = 2×2 – 2x – 7
(B) y = x2 – 2x – 3
(C) y = 2×2 – x – 5
(D) y = x2 – 2x + 3
(E) y = x2 – 2x – 4
10. EBTANAS 2000
Ordinat titik balik minimum grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + (p – 3) adalah 6. Nilai p =
(A) 4 (D) 13
(B) 5 (E) 15
(C) 10
11. UJIAN NASIONAL 2002
Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi tersebut adalah
(A) f(x) = – ½x2 + 2x + 3
(B) f(x) = – ½x2 – 2x + 3
(C) f(x) = – ½x2 – 2x – 3
(D) f(x) = – 2×2 + 2x + 3
(E) f(x) = 2×2 + 8x – 3
12. UJIAN NASIONAL 2006
Perhatikan gambar berikut ini, grafik fungsi tersebut adalah
(A) y = 2 – 2x + ½x2
(B) y = 2 + 2x – ½x2
(C) y = 2 – 2x – ½x2
(D) y = – ½x2 + 2x – 2
(e) y = – ½x2 – 2x – 2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar