kursor

Cool Orange Pointer

burung garuda

Selasa, 25 Oktober 2011

PERSAMAAN GRAFIK FUNGSI

1PENGERTIAN PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.







Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus kuadrat akar rumus abc

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan
.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

2.MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a  0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0  ax² + bx + c = 0  a (x + p/a) (x + p/a) = 0
 x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q²  x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0  X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± D)/2a

3.PEMBAHASAN DAN CONTOH
Persamaan fungsi kuadrat : y = f (x) = ax + bx + c

Dari persamaan : y = ax + bx + c Anda ubah menjadi :

y = a ( x +
) + c

dengan melengkapkan bentuk kuadrat, coba Anda ubah menjadi :
y = a ( x +

) +

-
+ c


y = a ( x +

) +
a(
)
-
+ c

y = a ( x +

+
) -
+


y =

y =

Untuk a > 0 atau a positif :
Maka bentuk
selalu bernilai positif atau sama dengan nol
untuk semua x € R , maka nilai terkecil dari
adalah 0.

Dengan demikian,
mempunyai nilai minimum

-
, dan nilai itu dicapai jika
= 0
atau
= 0 atau x = -


Jadi titik balik minimum parabola


adalah


Untuk a < 0 atau a negatif :
Maka bentuk
selalu bernilai negatif atau sama dengan 0
untuk semua x € R , maka nilai terbesar dari
adalah 0.

Dengan demikian,
mempunyai nilai maksimum

-
, dan nilai itu dicapai jika
= 0

atau
= 0 atau x = -


Jadi titik balik maksimum parabola


adalah




Dari penjelasan di atas, dapat Anda ambil kesimpulan bahwa :
Fungsi kuadrat dengan persamaan :
y = f(x) =
mempunyai :

Sumbu simetri dengan persamaan : x = -


Titik puncak atau titik balik adalah :


Jenis Titik Balik :

Apabila a > 0, maka titik balik minimum

Apabila a < 0, maka titik balik maksimum


Apabila p = -
dan q = -
, maka persamaan fungsi kuadrat

y = f(x) = a ( x +
) dan q = -

, dapat dinyatakan sebagai :

y = f(x) = a ( x - p ) + q

sehingga fungsi kuadrat ini mempunyai :

Sumbu simetri dengan persamaan : x = p

Titik puncak atau titik balik adalah : ( p,q )

Jenis Titik Balik :

Apabila a > 0, maka titik balik minimum

Apabila a < 0, maka titik balik maksimum
CONTOH SOAL
Contoh 1 :
Diketahui fungsi kuadrat f (x) = x - 2x + 5.
Coba Anda tentukan sumbu simetri dan titik balik grafik fungsi kuadrat tersebut!
Jawab :
Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan :
y = x - 2x + 5

Anda ubah menjadi :
y = x - 2x + 1 + 4


y = ( x - 2x + 1 ) + 4


y = ( x - 1 ) + 4

Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q

Maka bentuk y = ( x - 1 ) + 4 , kita ubah menjadi :

y = 1.( x - 1 ) + 4

Ini berarti diperoleh : a = 1 , p = 1 , dan q = 4
Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p

x = 1
titik baliknya adalah ( p,q ) = ( 1,4 )
Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum.
Bagaimana, tidak sulit bukan?
Baiklah, untuk lebih jelasnya marilah kita pelajari contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2 :
Diketahui parabola dengan persamaan y = -x - 4x + 5.
Tentukan sumbu simetri dan titik balik parabola tersebut!
Jawab :
Persamaan y = -x - 4x + 5, diubah menjadi :


y = -( x + 4x ) + 5


y = -( x + 4x + 4 ) + 4 + 5


y = -( x + 2 ) + 9


y = -1( x - (-2) ) + 9

Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q

Berarti : a = -1 , p = -2 , dan q = 9
Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p

x = -2
titik baliknya adalah ( p,q ) = ( -2,9 )
Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum.
Mudah bukan? Apakah Anda sudah paham?
Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 3 di bawah ini.
4.LATIHAN
1. EBTANAS 1990
Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah
(A) (-2, 3) (D) (1, -4)
(B) (-1, 4) (E) (1, 4)
(C) (-1, 6)
2. EBTANAS 1991
Persamaan sumbu simetri dari y = 8 – 2x – x2 adalah
(A) x = 4 (D) x = – 1
(B) x = 2 (E) x = – 2
(C) x = 1
4. EBTANAS 1995
Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat y = (x – 1) (x – 3) adalah
(A) (2, -1) (D) (-2, 1)
(B) (-1, -3) (E) (1, 3)
(C) (-2, -1)
5. EBTANAS 1995
Grafik fungsi di bawah ini adalah
(A) y = – 2×2 + 4x + 1
(B) y = 2×2 – 4x + 5
(C) y = -2×2 – 4x + 1
(D) y = -2×2 + 4x – 5
(E) y = -2×2 – 4x – 5

7. EBTANAS 1997
Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4) dan melalui titik (2, -3) mempunyai persamaan
(A) y = 2×2 – 2x – 7
(B) y = x2 – 2x – 3
(C) y = 2×2 – x – 5
(D) y = x2 – 2x + 3
(E) y = x2 – 2x – 4


10. EBTANAS 2000
Ordinat titik balik minimum grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + (p – 3) adalah 6. Nilai p =
(A) 4 (D) 13
(B) 5 (E) 15
(C) 10
11. UJIAN NASIONAL 2002
Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi tersebut adalah
(A) f(x) = – ½x2 + 2x + 3
(B) f(x) = – ½x2 – 2x + 3
(C) f(x) = – ½x2 – 2x – 3
(D) f(x) = – 2×2 + 2x + 3
(E) f(x) = 2×2 + 8x – 3
12. UJIAN NASIONAL 2006
Perhatikan gambar berikut ini, grafik fungsi tersebut adalah
(A) y = 2 – 2x + ½x2
(B) y = 2 + 2x – ½x2
(C) y = 2 – 2x – ½x2
(D) y = – ½x2 + 2x – 2
(e) y = – ½x2 – 2x – 2

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar